一、真题回顾（2010年全国卷Ⅰ理科第21题）
函数 ( f(x) = (x+1) ln(x+1)
ax^2
x )，当 ( x geq 0 ) 时：
（1）若 ( f(x) ) 单调递减，求 ( a ) 的取值范围；
（2）求证：( frac{1}{2} + frac{1}{3} + cdots + frac{1}{n+1} < ln>
二、硬核得分步骤
1. 第一问套路
先求导：( f'(x) = ln(x+1) + 1
2ax - 1 = ln(x+1) - 2ax )
单调递减 ⇒ ( f'(x) leq 0 ) 在 ( x geq 0 ) 恒成立
分离参数：( a geq frac{ln(x+1)}{2x} )（注意 ( x>0 ) 时），对 ( frac{ln(x+1)}{2x} ) 求最值
令 ( g(x) = frac{ln(x+1)}{2x} )，求导得 ( g'(x) = frac{frac{x}{x+1}
ln(x+1)}{2x^2} )
关键放缩：当 ( x>0 ) 时，( ln(x+1) < x>
结合 ( x=0 ) 时极限得 ( a geq frac{1}{2} )
2. 第二问拿分口诀
看到求和不等式 ⇒ 马上想“裂项+累加”或“导数积分放缩”
本题用导数构造：由 ( ln(1+x) < x>0 )）取 ( x = frac{1}{k} ) ⇒ ( lnleft(1+frac{1}{k}right) < frac>
改写为 ( frac{1}{k} > ln(k+1)
ln k )
从 ( k=1 ) 到 ( n ) 累加：
[
sum_{k=1}^{n} frac{1}{k} > ln(n+1)
]
调整下标即证原式（注意原式左边从 ( frac{1}{2} ) 开始）
三、考场抢分模板
1. 求参范围题：一求导、二分离、三最值、四极限端点验证
2. 数列不等式：见到 ( frac{1}{n} ) 和 ( ln ) ⇒ 直接套 ( frac{1}{k} > ln(1+frac{1}{k}) ) 累加
3. 必写踩分点：
求导公式写完整（漏“+1”扣1分）
分离参数时标注“当 ( x>0 ) 时”
用导数证 ( g(x) ) 单调性时列表格
累加不等式时写出“( k=1,2,dots,n )”
四、高频考点对应套路
1. 含 ( ln(x+1) ) 的放缩：( frac{x}{x+1} leq ln(x+1) leq x )（方向别反）
2. 递推数列证不等式：先用数学归纳法框架，再用导数证递推步骤
五、真题答案速查
（1）( a geq frac{1}{2} )
（2）证明过程见上方套路，考试时写满5行即可