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升学考试 江西2010年高考数学最后一道题答案

江西2010年高考数学最后一道题答案

题目(理数第22题):已知函数 ( f(x) = frac{1}{2}x^2ax + (a-1)ln x ),( a>1 )。(1)讨论 ( f(x) ) 的单调性;(2)证明:若 ( a-1 。答案要点:(1) ( f'(x) = xa ...

题目(理数第22题):

已知函数 ( f(x) = frac{1}{2}x^2

  • ax + (a-1)ln x ),( a>1 )。
  • (1)讨论 ( f(x) ) 的单调性;

    (2)证明:若 ( a<5>

    eq x_2 ),有 ( frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>-1 。

    答案要点

    (1) ( f'(x) = x

  • a + frac{a-1}{x} = frac{x^2
  • ax + (a-1)}{x} )。
  • 令 ( g(x)=x^2-ax+(a-1) ),判别式 ( Delta=a^2-4(a-1)=(a-2)^2 )。

    因 ( a>1 ),故 ( Deltageq0 )。

    当 ( 10 ),( g(x)=0 ) 有两根 ( x_1=frac{a-sqrt{Delta}}{2}

    单调性:在 ( (0,x_1) ) 和 ( (x_2,+infty) ) 上 ( f'(x)>0 ),( f(x) ) 增;在 ( (x_1,x_2) ) 上 ( f'(x)<0>

    当 ( a=2 ) 时,( Delta=0 ),( g(x)geq0 ),( f'(x)geq0 ),( f(x) ) 在 ( (0,+infty) ) 单调增。

    当 ( a>2 ) 时,( Delta>0 ),两根 ( x_1=frac{a-sqrt{Delta}}{2} ),( x_2=frac{a+sqrt{Delta}}{2} ),注意 ( x_1>0 )。

    单调性:在 ( (0,x_2) ) 和 ( (x_1,+infty) ) 上 ( f'(x)>0 ),( f(x) ) 增;在 ( (x_2,x_1) ) 上 ( f'(x)<0>

    (2) 要证 ( frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>-1 ),即证 ( f(x_1)+x_1 > f(x_2)+x_2 ) 对任意不相等的正数 ( x_1,x_2 ) 成立。

    构造函数 ( h(x)=f(x)+x=frac{1}{2}x^2

  • ax + (a-1)ln x + x )。
  • 则 ( h'(x)=x

  • a + frac{a-1}{x} + 1 = frac{x^2
  • (a-1)x + (a-1)}{x} )。
  • 令 ( varphi(x)=x^2-(a-1)x+(a-1) ),其判别式 ( Delta'=(a-1)^2-4(a-1)=(a-1)(a-5) )。

    已知 ( a<5>1 )。

    当 ( 1

    所以 ( h(x) ) 在 ( (0,+infty) ) 单调递增,因此对任意 ( x_1

    eq x_2>0 ),有 ( h(x_1)

    eq h(x_2) ),原不等式得证。

    关键步骤:第二问通过构造新函数 ( h(x)=f(x)+x ) 并证明其单调递增来转化原不等式。

    难点:分类讨论单调性时注意根的大小比较,第二问的构造函数思路。

    阅读提示

    建议先抓核心知识点,再看例题或表达方式,复习时可结合范文素材和作文栏目一起使用。