一、高频核心题型
1. 相似对角化与二次型：必考。给实对称矩阵A，求正交矩阵Q使其对角化，或者讨论二次型标准形、正定性。套路：先求特征值特征向量，斯密特正交化，拼成正交矩阵Q。
2. 矩阵方程与秩：必考。解矩阵方程AX=B或AX+XB=C。口诀：左乘右乘搞清楚，可逆时直接乘逆，不可逆时设未知矩阵用列向量拆解。
3. 向量组线性相关性与方程组解的结构：大概率结合考。给抽象向量组，讨论线性表示或相关无关。套路：定义法（设k1a1+…+ksas=0推系数）、用秩（秩小于向量个数则相关）。
4. 抽象矩阵的秩/特征值证明：常考压轴。考秩不等式（r(A)+r(B)-n ≤ r(AB)）、特征值性质（特征多项式，各特征值关系）。直接背结论：看到AB=O，马上想r(A)+r(B)≤n；看到A幂零，特征值全为0。
二、大题硬核考点与模板句
1. 特征值求法：解|λE-A|=0。三阶矩阵用拆项法或观察法快。
2. 正交化模板：β2=α2
3. 二次型标准形：用配方法或正交变换法。大题必须用正交变换（求Q），填空题配方法快。
4. 秩的常用不等式：r(A)≤min(m,n)；r(A+B)≤r(A)+r(B)；r(AB)≤min(r(A),r(B))。看到证明题直接套。
三、真题常见问法与答案要点
“求矩阵A的高次幂A^n”：先相似对角化，A=PΛP^(-1)，则A^n=PΛ^nP^(-1)。
“讨论参数取值使方程组有解/无解/唯一解/无穷解”：系数矩阵行列式≠0唯一解；=0时比较系数矩阵与增广矩阵的秩。
“证明向量组是基础解系”：先证线性无关，再证任意解可由其表示，且个数=n-r(A)。